Unter der Haube: Physik und Numerik

Partikelbasierte Simulationen für Ihre Anwendungen

Diskrete Elemente Methode (DEM)

Zur Darstellung einzelner Körner bieten sich in erster Nährung Kugeln an. Um komplexere Formen abzubilden, lassen sich die einzelnen Körner auch durch Agglomerate von Kugeln beschreiben. Zwischen den Körnern treten verschiedene physikalische Wechselwirkungen auf. So wird Repulsion durch Hertzsche Pressung oder harmonische Rückstellkräfte modelliert. Kohäsion wird durch die Johnson-Kendall-Roberts-Theorie unter Berücksichtigung der Oberflächenenergie erfasst. Reibung findet in Form des Amontonschen Gesetzes Eingang in die Simulation. Weiterhin wird die Dissipation von kinetischer Energie bei Kollisionen beschrieben. Die bisher genannten Mechanismen treten nur bei direktem Kontakt der Körner auf. Zusätzlich lassen sich langreichweitige Wechselwirkungen berücksichtigen, wie sie beispielsweise zwischen elektrisch geladenen oder magnetischen Partikeln vorliegen. Letztendlich liefern alle Wechselwirkungen effektive Kräfte, welche auf die einzelnen Körner wirken. Die Bewegung der Körner wird dann durch die Newtonschen Gesetze beschrieben.

Literatur:
T. Pöschel, T. Schwager. Computational Granular Dynamics. Springer, 2005.

Fraunhofer IWM: Berührung zweier DEM-Partikel, die aus mehreren Kugeln bestehen und schematisierte Darstellung eines Kontakts
Berührung zweier DEM-Partikel, die aus mehreren Kugeln bestehen (links) und schematisierte Darstellung eines Kontakts (rechts).

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Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH)

Das Verhalten von Flüssigkeiten wird durch die Navier-Stokes-Gleichungen erfasst. Hierbei handelt es sich um die Grundgleichungen der Strömungsmechanik. Sie stellen eine Verallgemeinerung der Newtonschen Gesetze für kontinuierliche Medien dar. Der partikelbasierte Lösungsansatz besteht nun darin, das zu simulierende Volumen in Partikel bzw. „Fluidklumpen“ aufzuteilen und die Navier-Stokes-Gleichungen in Bewegungsgleichungen für diese Partikel umzuformulieren. Auf diese Weise lassen sich zwanglos freie Oberflächen und Mehrphasenströmungen berücksichtigen. Komplexes rheologisches Verhalten wie Scherverdünnung oder Thixotropie kann durch Modifikationen in der Wechselwirkung der Fluidklumpen erfasst werden. Suspensionen lassen sich explizit modellieren, indem ausgedehnte Körper innerhalb der Flüssigkeit mit den Fluidklumpen in Wechselwirkung treten. Weiterhin können neben starren Wänden auch nachgiebige Wände beschrieben werden (Fluid-Struktur-Kopplung). Die Deformation wird dabei durch elastische oder plastische Materialgesetze modelliert.

Literatur:
J. J. Monaghan. Smoothed particle hydrodynamics. Reports on Progress in Physics, 68(8):1703–1759, 2005.

Fraunhofer IWM: Simulation eines Dammbruchs mit SPH und Oberflächenrekonstruktion der Flüssigkeit zur geeigneten Visualisierung
Simulation eines Dammbruchs mit SPH (oben) und Oberflächenrekonstruktion der Flüssigkeit zur geeigneten Visualisierung (unten).

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Zeitintegration und Randbedingungen

Sowohl die Diskrete Elemente Methode als auch die Smoothed Particle Hydrodynamics sind dynamische numerische Verfahren. Das bedeutet, die vorliegenden Kräfte bzw. Beschleunigungen müssen in Änderungen der Positionen und Geschwindigkeiten der Partikel umgesetzt werden. Dies erfolgt durch explizite Zeitintegration unter Verwendung des effizienten Geschwindigkeits-Verlet-Algorithmus mit einem adaptiven Zeitschritt.

Eine Vielzahl von räumlichen Randbedingungen steht für die Simulationen zur Verfügung. Bei manchen Anwendungsfällen kann es ausreichend sein nur einen repräsentativen Teil des Systems mit periodischen Randbedingungen in einer, zwei oder allen drei Dimensionen abzubilden. Ebenso sind reine zweidimensionale Simulationen möglich. Für Anwendungen bei denen Scherfelder auftreten, lassen sich diese durch sogenannte Lees-Edwards-Randbedingungen aufprägen.

Literatur:
M. P. Allen, D. J. Tildesley. Computer Simulation of Liquids. Oxford University Press, 1987.

Fraunhofer IWM: Schema einer Simulationsbox mit periodischen Randbedingungen. Verlässt ein Partikel die Box nach oben, so wird an der entsprechenden Stelle unten wieder ein Partikel eingefügt
Schema einer Simulationsbox mit periodischen Randbedingungen. Verlässt ein Partikel die Box nach oben, so wird an der entsprechenden Stelle unten wieder ein Partikel eingefügt.

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Parallelisierung

Je nach Fragestellung kann eine hohe Detailauflösung der zu untersuchenden Anwendung gewünscht sein. Dies führt mitunter zu einer sehr großen Anzahl der zu berücksichtigenden Partikel. Um dennoch möglichst schnell an Ergebnisse zu kommen, bieten sich parallele Simulationen an. Dazu wird in SimPARTIX® die Methode der Gebietszerlegung gewählt. Das Simulationsvolumen wird – ähnlich wie ein Kuchen – in gleich große Teile zerlegt. Jeder Prozessor führt dann die Simulation auf einem Teilgebiet (Domäne) aus. Die Prozessoren kommunizieren miteinander, um korrekte Wechselwirkungen an den Rändern der Gebiete sicherzustellen. Eine Parallelisierung kann sich auf eine Handvoll Rechenkerne erstrecken, wie sie in aktuellen Mehrkern-Architekturen vorliegen oder auch auf mehrere hundert auf einem Hochleistungsrechner.

Literatur:
S. Plimpton. Fast parallel algorithms for short-range molecular dynamics. Journal of Computational Physics, 117(1):1–19, 1995.

Fraunhofer IWM: Partikel an der Grenze der Berechnungsdomänen müssen zwischen den Prozessoren ausgetauscht werden, um die eine korrekte Wechselwirkung über die Grenze hinweg zu gewährleisten
Partikel an der Grenze der Berechnungsdomänen müssen zwischen den Prozessoren ausgetauscht werden, um die eine korrekte Wechselwirkung über die Grenze hinweg zu gewährleisten.

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